清洁工家属应要求家政公司赔偿。根据《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》的有关规定,雇员在从事雇佣活动中遭遇人身损害,雇主应当承当赔偿责任。因此,这名清洁工在从事雇佣活动中即打扫工作时,不幸遭受伤害导致死亡,受害人的家属应要求家政公司予以赔偿。
《民法典》第一千一百九十二条【个人劳务关系中的侵权责任】个人之间形成劳务关系,提供劳务一方因劳务造成他人损害的,由接受劳务一方承担侵权责任。接受劳务一方承担侵权责任后,可以向有故意或者重大过失的提供劳务一方追偿。提供劳务一方因劳务受到损害的,根据双方各自的过错承担相应的责任。
提供劳务期间,因第三人的行为造成提供劳务一方损害的,提供劳务一方有权请求第三人承担侵权责任,也有权请求接受劳务一方给予补偿。接受劳务一方补偿后,可以向第三人追偿。