应该公司缴纳，按照国家的规定你在那里上班领取的当月的劳动报酬就应该相应的缴纳社保。没有说什么发工资的周期问题。
目前的确有一些公司自己的制度你规定，比如上半月离职，就不给上保险之类的，但这个是不符合法律规定的，只要这个月员工在你单位上班了，单位就有义务为员工缴纳保险。您可以直接去社保中心举报或者稽查大队举报，要求公司补上保险，也可以仲裁要求补上保险，都会被支持的。但个人部分还是需要你自己承担的。
法律依据：
《社会保险法》
第六十三条 用人单位未按时足额缴纳社会保险费的,由社会保险费征收机构责令其限期缴纳或者补足。
用人单位逾期仍未缴纳或者补足社会保险费的,社会保险费征收机构可以向银行和其他金融机构查询其存款账户;并可以申请县级以上有关行政部门作出划拨社会保险费的决定,书面通知其开户银行或者其他金融机构划拨社会保险费。用人单位账户余额少于应当缴纳的社会保险费的,社会保险费征收机构可以要求该用人单位提供担保,签订延期缴费协议。
用人单位未足额缴纳社会保险费且未提供担保的,社会保险费征收机构可以申请人民法院扣押、查封、拍卖其价值相当于应当缴纳社会保险费的财产,以拍卖所得抵缴社会保险费。
第五十八条 用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理社会保险登记的,由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费。
自愿参加社会保险的无雇工的个体工商户、未在用人单位参加社会保险的非全日制从业人员以及其他灵活就业人员,应当向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。
