法律分析:公司可以和员工签订工伤免责协议无效。《中华人民共和国劳动合同法》第二十六条 下列劳动合同无效或者部分无效:
(一)以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危,使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的;
(二)用人单位免除自己的法定责任、排除劳动者权利的;
(三)违反法律、行政法规强制性规定的。对劳动合同的无效或者部分无效有争议的,由劳动争议仲裁机构或者人民法院确认。
工伤发生后,如果用人单位既未向主管部门上报,又未向劳动保障部门申请认定工伤,在这种情况下的协议是无效的。因为该行为属隐瞒不报,逃脱了劳动监管部门的监管,最终破坏了国家的劳动安全制度,也损害了劳动者的健康权利,违反了法律强制性和禁止性规定,依据《合同法》第52条第(五)款规定,该协议自始无效。