是不可以的。如果是用人单位，已经提出来和劳动者签订劳动合同，而劳动者以各种理由拒绝，或者推辞签订合同的，那么用人单位可以以此为理由，直接将劳动者辞退。不存在用人单位，还会因为没有劳动合同，起诉员工的情况。
公司当然不可以起诉员工，只有员工可以因为没有劳动合同起诉公司。
1、不签劳动合同是用人单位的责任，当事人可以不用管，也不用担心，用工的法律风险在用人单位。
2、社会保险是国家法定的，从用工之日起就应当建立，不管签没签劳动合同用人单位不办理是违法的。不按月支付劳动报酬也是违法的。
3、等到当事人什么时候不想在这个单位干了，当事人再提出依据《劳动合同法》第八十二条的规定要求用人单位自用工之日起一个月以后支付双倍工资。同时要求补充办理所有社会保险。
4、如果单位不予支付，申请劳动仲裁，百分之百胜诉，现在不用着急。但要注意收集能证明劳动关系的证据5、单位的违法行为还可以作为当事人合法辞职的理由，不但不受提前30天的限制，更不用批准，可立马走人，还可依据《劳动合同法》第四十六条、第四十七条的规定索取每工作一年一个月工资的经济补偿金。
二、公司不与员工签劳动合同如何维权?
1、建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
2、用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立“的规定，虽然单位至今没有与当事人签订劳动合同，但当事人已与单位形成事实劳动关系。
3、单位在当事人已经工作长达近半年的时间里，并没有按规定与当事人签订劳动合同，既违法也侵害了当事人的合法权益，需要承担规定的“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资”的法律责任，时间从当事人进入单位工作满一个月的次日起开始计算。
4、试用期包含在劳动合同期限内。劳动合同仅约定试用期的，试用期不成立，该期限为劳动合同期限”的规定，主任所说的试用期一个月无效，单位需要向当事人支付正常的工作工资。
5、当事人有权要求单位为当事人补缴欠缴的社会保险费。
6、如何证明当事人与单位形成事实劳动关系，可以参阅劳动和社会保障部《关于确立劳动关系有关事项的通知》
所以，如果劳动者不愿意和用人单位签订劳动合同，或者拒绝和用人单位签订，那么用人单位可以直接将劳动者辞退。只有当劳动者提出和用人单位签订劳动合同，而用人单位以各种理由推辞拒绝的，劳动者才可以直接向有关部门发起投诉。
